高等数学（下）期末复习：16.3 Path Independence、保守场与势函数
16.3 Path Independence、保守场 1 与势函数 2
重力场和电场中，移动一定质量或电荷所做的功都与移动的路径无关，而只依赖于起点和重 点。这一节有关于具有这种性质的矢量场，以及计算与之相关的做功的积分。
Path Independence
定义：\(\mathbf{F}\) 为定义在空间中开放区域 \(D\) 上的矢量场，假定对于 \(D\) 中任意 的 \(A\)、\(B\) 两点，从 \(A\) 到 \(B\) 的线积 分 \(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}\) 都与路径无关。则称 积 分 \(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}\) 在 \(\boldsymbol{D}\) 上 path independent，并且场 \(\mathbf{F}\) 在 \(D\) 上保守。
定义：若 \(\mathbf{F}\) 为定义在 \(D\) 上的矢量场，且存在某个 \(D\) 上的标量函数 \(f\)， 使得 \(\mathbf{F} = \nabla f\)，则 \(f\) 称为 \(\mathbf{F}\) 的势函数
如果找到了势函数，就能以另一种方式 evaluate 线积分
\[ \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_A^B \nabla f\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = f(B) - f(A). \]
这个式子是微积分基本定理的翻版。
对曲线、矢量场与定义域的假定
要让接下来的一些结论成立，需要对所考虑的曲线、曲面、定义域和矢量场的一些性质作一 些预设。
- 曲线必须为 piecewise smooth，也就是由有限的光滑曲线首尾衔接而成
- 定义域必须为 connected，即定义域内任意两点都可以由一条光滑曲线相连接
- 某些结论要求定义域必须为 simply connected，即定义域内的任意一个 loop，都可以在不 离开定义域的前提下缩小为一个点
保守场中的线积分
梯度场 \(F\) 可以由对标量函数 \(f\) 求导得到，类似于微积分基本定理，可以得到如下定理
定理 1：线积分基本定理 令 \(C\) 为连接点 \(A\) 与点 \(B\) 的可被参数化 为 \(\mathbf{r}(t)\) 的光滑曲线；令 \(f\) 为定义在包含 \(C\) 的定义域内的具有连续梯度向 量 \(\mathbf{F} = \nabla f\) 的可导函数，则
\[ \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbb{r}} = f(B) - f(A). \]
- 定理 1 的证明
\[ \begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} & = \int_A^B \nabla f\cdot\mathop{d\mathbf{r}} \\ & = \int_{t=a}^{t=b} \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\mathop{dt} \\ & = \int_a^b \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(\mathbf{r}(t))\mathop{dt} \quad\text{Recall total differential in 14.5} \\ & = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a)) \\ & = f(B) - f(A) \end{aligned}. \]
关于梯度和全微分之间的变换是最 tricky 的一环，展开再写一下：
\[ \begin{aligned} \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(\mathbf{r}(t)) = & \frac{\mathop{d}}{\mathop{dt}} f(g(t),h(t),k(t)) \\ = & \frac{\partial f}{\partial g}\frac{dg}{dt} + \frac{\partial f}{\partial h}\frac{dh}{dt} + \frac{\partial f}{\partial k}\frac{dk}{dt} \\ = & \langle \frac{\partial f}{\partial g}\mathbf{i}, \frac{\partial f}{\partial h}\mathbf{j}, \frac{\partial f}{\partial k}\mathbf{k} \rangle\cdot \langle \frac{dg}{dt}\mathbf{i}, \frac{dh}{dt}\mathbf{j}, \frac{dk}{dt}\mathbf{k} \rangle \\ =& \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). \end{aligned} \]
定理 2：保守场都是梯度 场 >\(\mathbf{F} = M\mathbf{i} + N\mathbf{j} + P\mathbf{k}\) 为空间中一个 open connected 区域上的矢量场，且 component 连续，则当且仅当 \(\mathbf{F}\) 为某一个可微函 数 \(f\) 的梯度场 \(\nabla f\) 时，\(\mathbf{F}\) 为保守场。
- 定理 2 的证明
目标：对于每一个保守场 \(\mathbf{F}\)，都找到一个对应的 \(f\)，使 得 \(\mathbf{F} = \nabla f\)。
首先，找到一个点 \(A\)，定义 \(f(A)=0\)；再找到一个点 \(B\)，定 义 \(f(B) = \int_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}\)，其中 \(C\) 为连接 \(A\)、\(B\) 两点 的任意的路径。
为了证明定理 2，需要对 \(f\) 求偏导数。
假定 \(B\) 的坐标为 \((x,y,z)\)，在 \(B\) 附近的一个点为 \(B_0(x_0,y,z)\)，其上的函数值 为 \(f(B_0) = \int_{C_0} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}\)。
取一条路径 \(C=C_0\cup L\)，也就是从 \(A\) 到 \(B\) 的路径接上 \(B\) 到 \(B_0\) 的线段。 当 \(B_0\) 与 \(B\) 的距离很近时，\(L\) 肯定也在定义域内。根据可加性，有
\[ f(x,y,z) = \int_{C_0} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. \]
求偏导，得到
\[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_{C_0} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \int_L \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}. \]
将 \(L\) 参数化 为 \(\mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k},x_0\le t\le x\)（因 为 \(B_0\) 相对于 \(B\) 只在 \(x\) 方向有移动）， 则 \(\mathop{d\mathbf{r}}/\mathop{dt}=\mathbf{i}\)，\(\mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}/\mathop{dt}=M\)， 进一步得到
\[ \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{x_0}^x M(t,y,z)\mathop{dt} = M(x,y,z). \]
同理可以在其他几个方向进行证明。
定理 3：保守场的 Loop 性质 以下两个表述等价：
- \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}}=0\) 对任意一个 \(D\) 上的 loop 都成立
- \(\mathbf{F}\) 在 \(D\) 上保守
- 定理 3 Pt.1 ⇒ Pt.2 证明
取一个 loop 的两部分 \(C_1\) 和 \(C_2\)
\[ \int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} - \int_{C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \int_{-C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_{C} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = 0 \]
- 定理 3 Pt.2 ⇒ Pt.1 证明
\[ \oint\limits_C \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \oint\limits_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} + \oint\limits_{C_2} \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} - \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathop{d\mathbf{r}} = 0 \]
思路同样是将一个环路拆成两部分。
找到保守场的势
保守场的分量判 别 3 >\(\mathbf{F}=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}\) 为 simply connected 定义域上的矢量场，且其分量都有连续的一阶偏导数， 则 \(\mathbf{F}\) 保守的充要条件为
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \quad \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, \quad\text{and}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}. \]
也就是交叉求偏导数，结果相等。
- 证明
存在势函数 \(f\) 则有
\[ \mathbf{F} = M\mathbf{i} + N\mathbf{j} + P\mathbf{k} = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}. \]
则有
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} = \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial N}{\partial z}. \]
通过保守场和原函数偏导数的关系，再结合混合偏导数定理证明。
Exact 微分形式 4
定义：形如 \(M(x,y,z)\mathop{dx}+N(x,y,z)\mathop{dy}+P(x,y,z)\mathop{dz}\) 为微 分形式；微分形式为 exact 当
\[ M\mathop{dx} + N\mathop{dy} +P\mathop{dz} = \frac{\partial f}{\partial x}\mathop{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathop{dy} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathop{dz} = \mathop{df} \]
\(f\) 为定义域上的标量函数
有点类似于前面提到的保守场的问题（不就是同一个概念吗）
微分形式 Exactne 的分量判别 simply connected 定义域上的微分形 式 \(M\mathop{dx} + N\mathop{dy} +P\mathop{dz}\) 为 exact 的充要条件为
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial z}, \quad \frac{\partial M}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x}, \quad\text{and}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial M}{\partial y}. \]
等价于场 \(\mathbf{F}=M\mathop{dx} + N\mathop{dy} +P\mathop{dz}\) 保守