高等数学（下）期末复习：15.7 柱面和球面坐标系下的三重积分

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15.7 柱面和球面坐标系 1 下的三重积分

为了简化一些问题，有时候需要将积分转换到柱面或者球面坐标系进行，转换的方法与 15.4 节中转换为极坐标的方法类似。

柱面坐标系下的积分

将 \(x\text{-}y\) 平面上的极坐标系与 \(z\) 轴相结合，得到柱面坐标系。

定义：柱面坐标系以有序的 triples\((r,\theta,z)\)，来表示空间中的一个点， 其中 \(r\ge 0\)，

  1. \(r\) 与 \(\theta\) 是点再 \(x-y\) 平面上投影的极坐标
  2. \(z\) 是直角坐标系下的竖坐标
Fig. 15.43

柱面坐标系的坐标与直角坐标系下的坐标有如下联系

\[ \begin{aligned} x = r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\\ r^2=x^2+y^2,\quad \tan\theta=y/x \end{aligned}. \]

在柱面坐标系下，不同的坐标值为常数有不同的意义。\(r\) 为常数代表一定半径的圆柱 面，\(\theta\) 为常数代表与 \(x\text{-}z\) 平面成一定角度的包含 \(z\) 轴的平面，\(z\) 为常数代 表一定高度的水平面。

Fig. 15.44

在柱面坐标系下求三重积分，有关于 cell、norm 等的定义都于在直角坐标系下相似，不过进 行切分的时候需要分为 wedge 形状而不是立方体，而它的体积则是在极坐标系的结论基础上 乘上一个 \(\Delta z\) 值

\[ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iiint_D f\mathop{dV} = \iiint_D f\mathop{dz}r\mathop{dr}\mathop{d\theta}. \]

如何在柱面坐标系下进行积分

要 evaluate

\[ \iiint_D f(r,\theta,z)\mathop{dV}. \]

按照 \(z\)，\(r\)，\(\theta\) 的顺序进行，有如下的几个步骤

  1. 画图 - 画出积分区域以及其在 \(x\text{-}y\) 平面上的投影 \(R\)（前文提到过的 shadow），标出围绕成 \(D\) 和 \(R\) 的曲面、曲线

  2. 找到 \(z\) 值的积分上下限 - 过一个普通的点 \(r,\theta\)，作与 \(z\) 轴平行的直线，穿 过 \(D\)。标记进入和穿出点的 \(z\) 值，即为对 \(z\) 进行积分的上下限

  3. 找到对 \(r\) 积分的上下限 - 作一条过原点与 \((r,\theta)\) 的射线，穿过区域 \(R\)，标记进 入和离开区域的 \(r\) 值，即为对 \(r\) 进行积分的上下限

  4. 找到对 \(\theta\) 积分的上下限 - 也即整个 \(R\) 区域（或者整个 \(D\) 区域）所对应的最大和 最小的 \(\theta\) 值

Limits of Triple Integral

三重积分可以被转化为

\[ \iiint_D f(r,\theta,z)\mathop{dV} = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{r=h_1(\theta)}^{r=h_2(\theta)} \int_{z=g_1(r,\theta)}^{z=g_2(r,\theta)} f(r,\theta,z)\mathop{dz} r\mathop{dr}\mathop{d\theta}. \]

球面坐标系与积分

定义：球面坐标系通过有序 triple\((\rho,\phi,\theta)\) 来表示空间中的一 点 \(P\)

  1. \(\rho\) 表示 \(P\) 到原点的距离（\(\rho\ge 0\)）
  2. \(\phi\) 为 \(\overrightharpoon{OP}\) 与 \(z\) 轴正方向所成的夹角（\(0\le\phi\le\pi\)）
  3. \(\theta\) 从柱面坐标系中得来
Fig. 15.49

在球面坐标系中，\(\rho\) 值为常数代表一定半径的球面；\(\phi\) 值为常数代表一定张角的锥 面，钝角或锐角则决定锥面开口的方向；\(\theta\) 为常数代表与 \(x\text{-}z\) 成一定夹角的 平面。

联系球面坐标系与笛卡尔坐标系、柱面坐标系的公式

\[ \begin{aligned} r = \rho\sin\phi,\quad x = r\cos\theta = \rho\sin\phi\cos\theta, \\ z = \rho\cos\phi,\quad y = r\sin\theta = \rho\sin\phi\sin\theta, \\ \rho = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2} = \sqrt{r^2 +z^2}. \end{aligned} \]

球面坐标系下对应的黎曼和极限为

\[ \lim_{n\rightarrow\infty} S_n = \iiint_D f(r,\rho,\theta)\mathop{dV} = \iiint_D f(\rho,\phi,\theta) \rho^2\sin\phi\mathop{d\rho}\mathop{d\phi}\mathop{d\theta}. \]

如何在球面坐标系下积分

要 evaluate

\[ \iiint_D f(\rho,\phi,\theta)\mathop{dV} \]

按照 \(\rho\)，\(\phi\)，\(\theta\) 的顺序积分

Limits of Integration in Spherical Coordinates

  1. 画图 - 画出积分区域以及其在 \(x\text{-}y\) 平面上的投影 \(R\)（前文提到过的 shadow），标出围绕成 \(D\) 的曲面

  2. 找到 \(\rho\) 值的积分上下限 - 过原点作一条射线 \(M\) 穿过 \(D\)，与 \(z\) 轴正半轴 成 \(\phi\) 角。同时也画出 \(M\) 在 \(x\text{-}y\) 平面上的投影 \(L\)，与 \(x\) 轴正半轴 成 \(\theta\) 角。标记出 \(M\) 进入和离开区域 \(D\) 时的 \(\rho\) 值，即为对 \(\rho\) 进行积分的 上下限

  3. 找到对 \(\phi\) 积分的上下限 - 对于任意的 \(\theta\)，包围区域的最大、最小 \(\phi\) 值即 为对 \(\phi\) 进行积分的上下限

  4. 找到对 \(\theta\) 积分的上下限 - 也即整个 \(R\) 区域（或者整个 \(D\) 区域）所对应的最大和 最小的 \(\theta\) 值

积分式可以转化为

\[ \iiint_D f(\rho,\phi,\theta)\mathop{dV} = \int_{\theta=\alpha}^{\theta=\beta} \int_{\phi=\phi_\text{min}}^{\phi=\phi_\text{max}} \int_{\rho=g_1(\phi,\theta)}^{\rho=g_2(\phi,\theta)} f(\rho,\phi,\theta)\rho^2\sin\phi \mathop{d\rho}\mathop{d\phi}\mathop{d\theta}. \]

  1. Cylindrical & Spherical Coordinates↩︎