高等数学（下）期末复习：15.5 直角坐标系下的三重积分

15.5 直角坐标系下的三重积分 ¹

相比于单积分，三重积分让我们可以处理一些更加 general 情况下的问题，如三维形状的体 积，三维区域上的平均值等。三重积分还引出了矢量场 ² 和流量 ³ 的问题，在 16 章中介 绍。

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三重积分

$F(x,y,z)$ 是定义在空间中有界封闭区域 $D$ 上的函数，要求 $F$ 在 $D$ 上的积分，首先还是 要将区域进行切分。把区域分为许多立方体型的 "cell"，并且只取完全在区域内的 cell，将 它们编号，每一个 cell 的体积为 $V_k=\mathrm{\Delta }{x}_k\mathrm{\Delta }{y}_k\mathrm{\Delta }{z}_k$。取每一个 cell 内 的点 $(x_k,y_k,z_k)$，三重积分对应的黎曼和为：

$$S_n=\sum _{k=1}^{n}F(x_k,y_k.z_k)\mathrm{\Delta }{V}_k.$$

Fig. 15.30

同样，cell 的三维 $\mathrm{\Delta }{x}_k$, $\mathrm{\Delta }{y}_k$, $\mathrm{\Delta }{z}_k$ 中最大的称之为 norm。如果 无论怎样进行切分，当 norm 趋近于 0 时，黎曼和都收敛于同一个极限，那么 $F$ 在区域 $D$ 上 就是可积的。实际上只要 $F$ 连续，并且围成区域 $D$ 的曲面是由有限个平滑的曲面连接 成的，那么 $F$ 就是可积的。

当 norm 趋近于 0，cell 的数目趋近于无穷大时，黎曼和的极限称为 $F$ 在 $D$ 上的三重积分。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{||P||\to 0}{lim}{S}_n={\iiint }_{D}F(x,y,z)dxdydz.$$

能够使连续函数在其上可积的区域，称其有 "reasonably-smooth" 边界。

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空间中区域的体积

如果令 $F$ 恒等于 1，那么黎曼和成为 cell 体积的和，极限最终将会趋近于所区域的总体积。

定义：空间中封闭、有界区域 $D$ 的体积为

$$V={\iiint }_{D}dV.$$

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按 dz dy dx 的顺序找到积分的上下限

要求三重积分，也与二重积分一样，通过 Fubini 定理的空间形式将三重积分转换为累次积 分，一个关键的问题就是找到积分的上下限。书中给出的推导是按照 $dz$, $dy$, $dx$ 的顺 序进行的，调换顺序进行积分也类似。

1. 画图 - 画出区域 $D$ 以及它的 "shadow" R（在 $x\text{-}y$ 平面上的正投影），分别标 记出围成 $R$ 的下方和上方的曲线

2. 找到对 $z$ 积分的上下限 - 过 $R$ 内的一点 $(x,y)$ 作一条沿着 $z$ 轴向上的直线，标记出 这条直线进入、穿出区域 $D$ 时的值，这就是对 $z$ 积分的上下限

3. 找到对 $y$ 积分的上下限 - 做一条沿 $y$ 轴方向的直线穿过区域 $R$，分别标记它进入、 离开区域 $R$ 时的值，即为对 $y$ 进行积分的上下限

4. 找到对 $x$ 积分的上下限 - 区域 $R$（也就是区域 $D$）所对应的最大、最小的 $x$ 值，即 为对 $x$ 积分的上下限

Finding limits of integration

最后的结果为

$${\int }_{x=a}^{x=b}{\int }_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)}{\int }_{z=f_1(x,y)}^{z=f_2(x,y)}F(x,y,z)dzdydx.$$

有必要时，可以调换积分的顺序，只需要找到在不同方向的 "shadow"。

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空间中函数的均值

空间中函数的均值定义为

$$\mathbf{\text{Average value}}\text{ of }F\text{ over }D=\frac{{\iiint }_{D}FdV}{{\iiint }_{D}dV}.$$

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三重积分的性质

同二重积分的代数性质相一致

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1. triple integrals↩︎

2. vector field↩︎

3. fluid flow↩︎