高等数学（下）期末复习：15.4 极坐标下的二重积分

Posted on 2020-07-28 Edited on 2025-02-18 Views: 1 Word count in article: 875 Reading time ≈ 3 mins.

有时将二重积分转换到极坐标下进行计算会更为简单，这一节将介绍如何进行这种转化，以及如何对极坐标方程进行二重积分。

极坐标系中的积分

在开始讨论矩形上的二重积分时，很自然地可以想到将区域划分为多个小矩形，（由于区域的边界值对应的 $x$ 或者 $y$ 坐标都为常数）。在极坐标平面上的区域内，对应的概念就是将区域划分为许多个 "polar rectangles"，它的边对应常量 $r$ 或 $θ$ 值，此处只考虑 $r \geq 0$ 的坐标。

假定有函数 $f (r, θ)$ 定义在由射线 $θ = α$ ， $θ = β$ 以及连续曲线 $r = g_{1} (θ)$ , $r = g_{2} (θ)$ 围成的区域上，假定 $0 \leq g_{1} (θ) \leq g_{2} (θ) \leq a$ ，区域 $R$ 将落在一个扇形的范围 $0 \leq r \leq a$ ， $α \leq θ \leq β$ 内。

这样一来可以将区域划分为许多个由弧和射线构成的网格，半径为 $Δ r$ , $2 Δ r$ , ..., $m Δ r$ ，其中 $Δ r = a / m$ ；射线为 $θ = α$ , $θ = α + Δ θ$ , $θ = α + 2 Δ θ$ , ..., $θ = α + m^{'} Δ θ = β$ ，其中 $Δ θ = (β - α) / m^{'}$ 。这一系列 partition 就是 "polar rectangles"。

同样是给这些 "polar rectangles" 编号，取 $(r_{k}, θ_{j})$ 为落在对应的 partition 内的一点，则黎曼和为

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (r_{k}, θ_{k}) Δ A_{k} .$

同笛卡尔坐标系下类似，当 $Δ r$ 与 $Δ θ$ 趋近于 0 时，黎曼和的极限就定义为区域上的二重积分：

$lim_{n \to \infty} S_{n} = \iint_{R} f (r, θ) d A .$

为了计算出黎曼和，首先要把 $Δ A_{k}$ 用 $Δ r$ 与 $Δ θ$ 表示出来。方便起见，把 $r_{k}$ 定在 "polar rectangle" 内弧与外弧的中间。

这样一来 "polar rectangle" 的面积为

$Δ A_{k} = \frac{1}{2} {(r_{k} + \frac{Δ r}{2})}^{2} Δ θ - \frac{1}{2} {(r_{k} - \frac{Δ r}{2})}^{2} Δ θ = r_{k} Δ r Δ θ .$

代换进黎曼和表达式，得到

$lim_{n \to \infty} S_{n} = \iint_{R} f (r, θ) r d r d θ .$

如果运用 Fubini 定理的话，可以进一步改写成

$\iint_{R} f (r, θ) d A = \int_{θ = β}^{θ = α} \int_{r = g_{1} (θ)}^{r = g_{2} (θ)} f (r, θ) r d r d θ .$

找到积分的上下界

直角坐标系中找积分上下界的方法在极坐标系中依然适用，按照先对 $r$ 积分再对 $θ$ 积分的顺序，可以按这样的步骤进行：

画图 - 画出要求积分的区域并且标记围成区域的曲线
找到 $r$ 的积分上下限 - 从原点出发画一条射线穿过积分区域，分别标记进入、离开区域时的 $r$ ，即为对 $r$ 积分的上下限（一般是跟射线与 $x$ 轴正方向的夹角 $θ$ 有关的式子）
找到 $θ$ 积分的上下限 - 包围求积分区域的最小和最大的 $θ$ 边界值

极坐标系中的面积 极坐标系中封闭有界区域 $R$ d 的面积为

$A = \iint_{R} r d r d θ .$

将笛卡尔积分变换为极坐标积分

包含两个步骤：

作代换 $x = r \cos θ$ 以及 $y = r \sin θ$ ，将 $d x d y$ 替换为 $r d r d θ$
在极坐标系中通过区域的边界找到积分上下限

$\iint_{R} f (x, y) d x d y = \iint_{G} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r d θ$

代换的过程和 Calculus Ⅰ 中的换元积分无异。多元函数积分更加 general 的换元会在 15.8 中介绍。