高等数学（下）期末复习：15.3 由二重积分得到面积

这一节有关利用二重积分计算平面上有界区域的面积，以及二元函数的平均值。

平面上有界区域的面积

如果取二元函数的值为 \(f(x,y)=1\)，那么二重积分的黎曼和为

\[ S_n = \sum^n_{k=1} f(x_k.y_k)\Delta A_k = \sum^n_{k=1} \Delta A_k \]

也就是所有 partition 面积的和，取极限即为区域的总面积

\[ \lim_{||P||\rightarrow 0} \sum^n_{k=1} \Delta A_k = \iint_R dA \]

定义：平面上封闭、有界区域 \(R\) 的面积为

\[ A = \iint_R dA \]

计算的方法则是将 \(f(x,y)=1\) 在区域 \(R\) 上积分。

均值

与单变量函数的均值类似，二元函数在某个区域 \(R\) 上的均值可以表示为

\[ \frac{\iint_R fdA}{\iint_R dA} \]

也即 “体积除以底面积”