高等数学（下）期末复习：14.9 二元函数的泰勒公式
二阶导数判定的推导
二阶导数判定也就是用于判断、一个两个方向偏导数都为零的 critical point 是否是极值点 的方法。
假设 \(f(x, y)\) 在区域 \(R\) 上一点 \(P(a,b)\) 附近有连续的偏导数，并且满 足 \(f_x + f_y = 0\)（是一个 critical point）。取一段微小的 increment \(h\) 和 \(k\)，使得 点 \(S(a+h, b+k)\) 仍然落在区域 \(R\) 内，再把线段 \(PR\) 参数化，得到
\[ x=a+th,\quad y=b+tk,\quad 0\leq t \leq 1. \]
令 \(F(t)=f(a+th,b+tk)\)，由链式法则得到
\[ F'(t) = f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt} = hf_x + kf_y. \]
前面已经假设 \(f\) 的偏导数也是连续的，所以可以继续求导得到
\[ \begin{aligned} F'' &= \frac{\partial F'}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F'}{\partial y} \frac{dy}{dt} \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(hf_x + kf_y) \cdot h + \frac{\partial}{\partial y}(hf_x + kf_y) \cdot k \\ &= h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy} \end{aligned}. \]
由于 \(F\) 和 \(F'\) 在 \(t \in [0,1]\) 上都是连续的，并且 \(F'\) 在 \(t \in (0,1)\) 上可微，可以应 用 \(n=2\)，\(a=0\) 的泰勒公式（有一个拉格朗日型余项），得到
\[ \begin{aligned} F(1) &= F(0) + F'(0)(1 - 0) + F''(c) \frac{(1 - 0)^2}{2} \\ &= F(0) + F'(0) + \frac{1}{2} F''(c) \end{aligned}. \]
再重新换成 \(f\) 来表示，得到
\[ \begin{aligned} f(a+h,b+k) =& f(a,b) + hf_x(a,b) + kf_y(a,b) \\ &+ \left. \frac{1}{2} (h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} +k^2f_{yy}) \right|_{(a+ch,b+ck)} \end{aligned}.* \]
这个式子随后会被多次用到
回到最原始的定义，在 \((a,b)\) 处到底有没有出现极值是由 \(f(a+h,b+k) - f(a,b)\) 的符号决 定的，将上式变形一下，也就是由下式的符号决定
\[ Q(c) = \left. (h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} +k^2f_{yy}) \right|_{(a+ch,b+ck)}. \]
\((a+ch,b+ck)\) 代表 \(PR\) 之间的某一个点
只要 \(Q(0) \neq 0\)，对于足够小的 \(h\) 和 \(k\)，就可以作符号上的近似
\[ Q(c) \approx Q(0) = h^2f_{xx} + 2hkf_{xy}(a,b) +k^2f_{yy}(a,b). \]
这个近似的依据是极限，以及 \(f\) 二阶偏导数的连续性
在式子两边同时乘上 \(f_{xx}\)。得到
\[ \begin{aligned} f_{xx}Q(0) &= f_{xx}[h^2f_{xx}(a,b) + 2hkf_{xy}(a,b) +k^2f_{yy}(a,b)] \\ &= (hf_{xx} + kf_{xy})^2 + (f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)k^2 \end{aligned}. \]
分类讨论几种情况：
如果在 \((a,b)\) 上，\(f_{xx} < 0\) 且 \(f_{xx}f_{yy} > f_{xy}^2\)，那么对于足够小 的 \(h\) 与 \(k\)，\(Q(0)<0\)，\(f\) 取得局域最大值；
如果在 \((a,b)\) 上，\(f_{xx} > 0\) 且 \(f_{xx}f_{yy} > f_{xy}^2\)，那么对于足够小 的 \(h\) 与 \(k\)，\(Q(0)<0\)，\(f\) 取得局域最小值；
如果在 \((a,b)\) 上，\(f_{xx}f_{yy} < f_{xy}^2\)，那么存在 \(h\) 和 \(k\) 的不同组合，使 得 \(Q(0)\) 的符号不确定，因此 \((a,b)\) 为鞍点；
如果在 \((a,b)\) 上，\(f_{xx}f_{yy} = f_{xy}^2\)，那么 \(Q(0)\) 可能为 0，必须进行其他的 判别才能确定。
线性近似的误差公式
前面的章节提到二元函数的标准线性近似为
\[ f(x,y) \approx L(x,y) = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). \]
假设 \(f\) 在一个封闭的以 \((x_0,y_0)\) 为中心的矩形区域 \(R\) 上具有连续的二阶偏导数
现在讨论的是线性近似的误差问题，可以在式 * 中作这样的代换
\[ \begin{cases} a = x_0 \\ b = y_0 \\ x - x_0 = h \\ y - y_0 = k \end{cases}. \]
就可以得到结果
\[ \begin{aligned} f(x,y) =& \underbrace{ f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) }_{\text{linearization } L(x, y)} \\ &+ \underbrace{ \left. \frac{1}{2} \left [ (x - x_0)^2f_{xx} + 2(x + x_0)(y - y_0)f_{xy} + (y - y_0)^2f_{yy} \right ] \right |_{(x_0 + c(x - x_0), y_0 + c(y - y_0))} }_{\text{error } E(x, y)} \end{aligned}. \]
也就是说，线性近似的误差会满足
\[ |E| \le \frac 12 \left( |x - x_0|^2|f_{xx}| + 2|x - x_0||y - y_0||f_{xy}| + |y - y_0|^2|f_{yy}| \right). \]
取 \(M\) 为 \(|f_{xx}|\), \(|f_{yy}|\), \(|f_{xy}|\) 的任意一个上界，得到
\[ \begin{aligned} |E| &\le \frac 12 \left( |x - x_0|^2M + 2|x - x_0||y - y_0|M + |y - y_0|^2M \right) \\ &= \frac 12 M \left( |x - x_0| + |y - y_0| \right)^2 \end{aligned}. \]
也就是前面的章节提到的误差估算公式。
二元函数的泰勒公式
前文推导出了关于 \(F'\) 和 \(F''\) 的两个式子：
\[ \begin{aligned} F' &= \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)\cdot f \\ F'' &= \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 \cdot f = \left( h^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \cdot f \end{aligned} \]
实际上是另一个更为 general 的式子的一阶、二阶形式：
\[ F^{(n)}(t) = \frac {d^n}{dt^n} F(t) = \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x, y) \]
现在的情况是通过参数化把二元函数 \(f(x,y)\) 变成一元函数 \(F(t)\) 了，于是可以用前面的一 元函数泰勒公式，转化得到二元函数的泰勒公式。
二元函数在点 \((a,b)\) 处的泰勒公式 假定 \(f(x,y)\) 在一个以点 \((a,b)\) 为中心的开放 矩形区域 \(R\) 上有连续的直到 \(n+1\) 阶偏导数，那么在整个 \(R\) 上有
\[ \begin{aligned} f(a + h, b + k) =& f(a, b) + \left. (hf_x + kf_y) \right|_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{2!} \left.( h^2f_{xx} + 2hkf_{xy} + k^2f_{yy} )\right|_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{3!} \left. h^3f_{xxx} + 3h^2kf_{xxy} + 3hk^2f_{xyy} + k^3f_{yyy} \right |_{(a,b)} \\ &+ ... + \frac{1}{n!} \left. \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f \right |_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{(n+1)!} \left. \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f \right |_{(a + ch,b + ck)} \end{aligned} \]
余项即为在点 \((a,b)\) 到点 \((a+h,b+k)\) 间的某一点取值
\(f(x,y)\) 在原点处的泰勒公式
\[ \begin{aligned} f(x, y) =& f(0, 0) + \left. (xf_x + yf_y) \right|_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{2!} \left.( x^2f_{xx} + 2xyf_{xy} + y^2f_{yy} )\right|_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{3!} \left. x^3f_{xxx} + 3x^2yf_{xxy} + 3xy^2f_{xyy} + y^3f_{yyy} \right |_{(a,b)} \\ &+ ... + \frac{1}{n!} \left. \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f \right |_{(a,b)} \\ &+ \frac{1}{(n+1)!} \left. \left( x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f \right |_{(cx,cy)} \end{aligned} \]
相当于麦克劳林展开式