高等数学（下）期末复习：14.8 拉格朗日乘子

14.8 拉格朗日乘子 ¹

拉格朗日乘子是一种用来找到限制条件下函数的最值的方法。

受约束的 ² 最大值与最小值

例题 1

求平面 2y − z − 5 = 0 上离原点最近的点。

这个很简单，就是把 z = 2y − 5 代入 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，转化为二元函数，再利用之前的 知识求解就行。但是代换法并不是每次都能使用得很 smooth.

另一个例子则能很好说明代换法的局限性。

例题 2

求 hyperbolic cylinder x² − z² − 1 = 0 上离原点最近的点。

如果采用代换法，将 z² = x² − 1 代入 x² + y² + z² 中，得到 h(x,y) = 2x² + y² − 1，要求 最小值，就有

$$\{\begin{array}{l}{h}_x=4x=0\\ h_y=2y=0\end{array}\Rightarrow x=y=0$$

也就是原点本身，这个答案肯定很滑稽。之所以会这样，是因为我们需要的点是是在 hyperbolic cylinder 上的，而代换之后找目标点是以整个 x-y 平面为范围的。

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能够避开对于范围的讨论而得到结果的另一种方法，则是考虑一个以原点为球心，a 为半 径的 “泡泡”。这个 “泡泡” 不断地变大，它刚好碰到 hyperbolic cylinder 的时候，那个交点 肯定就是到原点距离最小的点，距离为 a。

“泡泡” 与 hyperbolic cylinder 的方程分别为：

$$\{\begin{array}{l}f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\\ g(x,y,z)=x^2-z^2-1\end{array}$$

临界条件是它们相切，也就是切平面方向平行，也就是法线方向平行，也就是梯度向量平行 …… 也就是：

∇f = λ∇g

也就是

$$<2x,2y,2z>=\lambda <2x,0,-2z>\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x=2\lambda x\\ 2y=0\\ 2z=-2\lambda z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\\ y=0\\ z=\\ \lambda =\end{array}$$

显然 x ≠ 0，所以 λ = 1，z = 0。回带进限制方程 x² − z² − 1 = 0，得 到 x =  ± 1。

REMARK：以上即为使用拉格朗日乘子法的一般形式

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拉格朗日乘子法

利用上面这个式子找到最值点的方法，就叫拉格朗日乘子法，λ 称为拉格朗 日乘子。

定理 12：正交梯度定理

假设 f(x,y,z) 在区域上可微，在其内部有光滑曲线

C : r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

若 f 在 C 上一点 P₀ 处取得局域最大值或最小值，则∇f 在 P₀ 处正交 于 C。

原因是

$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}=\mathrm{\nabla }f\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }$$

这个定理很 trivial，有前面几节的铺垫就懂。定理 12 是拉格朗日乘子法的关键所在。

拉格朗日乘子法 >f(x,y,z) 和 g(x,y,z) 可微且 当 g(x,y,z) = 0 时∇g ≠ 0。要找到 f 受限制与 g = 0 的区域最大值、最小值， 需要找到 x, y, z, λ 同时满足

$$\text{Missing end{cases}}$$

\nabla f = \lambda \nabla g \\
g(x,y,z) = 0

\end{cases}

$$

双重限制的拉格朗日乘子

有的问题要求有更多的限制，可以引入两个拉格朗日乘子。

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }{g}_1+\mu \mathrm{\nabla }{g}_2\\ g_1(x,y,z)=0\\ g_2(x,y,z)=0\end{array}$$

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从几何上解释，根据定理 12，要找到的是正交于 C 的∇f。由于 C 位 于 g₁ = 0 与 g₂ = 0 上，而梯度向量与平面是正交的，所以∇g₁ 与∇g₂ 也 与 C 正交。这样，通过把∇f 表示为∇g₁ 和∇g₂ 的线性组合，就 达到了目的。

REMARK：这个地方有点 tricky，一开始我还真没怎么想清楚到底是怎么回事。

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REMARK：概括拉格朗日乘子法的使用

• 找到限制条件，表示为某函数等于 0 的形式
• 找到目标函数，表示为一个三元函数
• 分别求出梯度向量，列等式
• 将结果回带进限制条件，解出坐标
• 最后记得检验结论是否合理正确

这节的内容听起来很好像简单，但是真正做题的时候可能是另一回事，并且每个定理和每个 推导的背后都有很强的逻辑性。感谢写这篇文章让我认真把这些问题考虑清楚ヾ (^▽^*)))

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1. Lagrange Multipliers↩︎

2. constrained↩︎