高等数学（下）期末复习：14.5 方向导数与梯度向量
14.5 方向导数与梯度向量 1
（先从正在复习的部分开始吧，前面的内容如果有机会再去填坑）
引入平面上的方向导数 2
前一个章节里把多元函数的导数（全微分）定义为了 \(f(x,y)\) 沿着两条特殊的方向，也 即 \(x=g(t)\) 和 \(y=h(t)\) 的参数方程方向上的导数的和。这本教材里只给出了一个说明，详细 的的证明需要数学分析的知识
\[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]
对应于任一点 \(P(g(t),h(t))\)，也即由 \(t\) 的参数方程确定的整个区域上的每一点。
既然如此，我们就可以找一个方向 \(\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}\)（注意 是单位向量），去研究这个方向上的导数，而这条线上的点就可以对应表示为
\[x=x_0+su_1,\quad y=y_0+su_2\]
\(s\) 表示的就是弧长参数，我们的目的就是对它作微分。
定义
在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 处，沿着单位向量 \(\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}\) 的方向导数为
\[ \left(\frac{df}{ds}\right)_{\mathbf{u},P_0} = \lim_{x \to 0}\frac{f(x_0+su_1, y_0+su_2) - f(x_0,y_0)}{s} \]
前提是这个极限存在
方向导数也可以记为 \((D_\mathbf{u} f)_{P_0}\)
方向导数的含义
也就是方向向量所对应的一个平面，截多元函数曲面所得到的 trace curve 的导数。
方向导数的计算与梯度 3
通过链式法则来推导方向导数的计算：
\[ \begin{aligned} \left(\frac{df}{ds}\right)_{\mathbf{u},P_0} = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{P_0} \frac{dx}{ds} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_0} \frac{dy}{ds} \\ = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{P_0} u_1 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_0} u_2 \\ = & \left[ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_0} \mathbf{i} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_0} \mathbf{j} \right] \cdot \left[ u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j} \right] \end{aligned} \]
也就是说，其实方向导数可以表示为某个向量与单位方向向量的内积。
定义 梯度向量 4 为
\[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} \]
可以读作 "grad f" 或者 "gradient of f" 或者 "del f"，"\(\nabla\)"读作"del"，名 为"Nabla" 算子。
定理 9：方向导数作为点积 若 \(f(x,y)\) 在包含 \(P_0(x_0,y_0)\) 的 open region 上可 微，则
\[ \left(\frac{df}{ds}\right)_{\mathbf{u},P_0} = \left(\nabla f\right)_{P_0}\cdot\mathbf{u} \]
也即
\[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \]
由于 \(\mathbf{u}\) 为一个单位向量，所以方向导数也可以表示 为 \(|\nabla f|\cos \theta\)，于是就有与特殊夹角有关的一些结论。
梯度与 Level Curves 的切线
依然利用链式法则：
\[ \begin{aligned} \frac{d}{dt}f(g(t),h(t)) & = \frac{d}{dt}(c) \\ \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dg}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dh}{dt} & = 0 \\ \underbrace{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} \right)}_{\nabla f} \cdot \underbrace{\left( \frac{dg}{dt}\mathbf{i} + \frac{dh}{dt}\mathbf{j} \right)}_{\frac{d\mathbf{r}}{dt}} & = 0 \end{aligned} \]
也就是说，梯度向量与 Level Curves 的切线方向是正交的。
Level Curve 的切线
\[ f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0 \]
梯度的代数法则 符合线性条件，此外 \(\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f\) >$ (fg ) = $
有点类似于复合函数的导数（实际上不就是导数吗）。
三元函数
以上结论都适用，只需对应替换成三元的向量即可。
路径的链式法则
假定有一条平滑的路 径 \(C:\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\)，又有一个 标量函数 \(w = f(\mathbf{r}(t))\)，根据定义，\(f\) 的全微分就可以表示为
\[ \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) \]